円運動においてもうひとつ重要な概念がある。運動量の円運動版みたいなもので角運動量というもの 

である。図6.18のように,フィギアスケートで回転をするときに手を伸ばすと回転が遅くなり,手を縮

めると早く回転する。回転は回転軸(立っている体の中心線)と手先との距離に関係することを示して

いる。また,おもりを紐に結んで手で回し,そして指を立てて紐を絡みつかせると,紐が短くなるにし

たがっておもりは早く回転する。

質量mの物体が回転軸から距離r(円の半径)にあり角速度ωで回転し,運動方向には力は働いていな

いとする。

この時,速度はV=rωで,角運動量は

角運動量=mrV             (6.10)

と定義され,保存される。運動の第1法則(運動量保存則)の回転運動への拡張版である。

 質量mの物体が初めに半径R,角速度ω,速度Vの円運動をしていたが,

次に半径R,角速度ω,速度Vになったとする。

角運動量は保存されるので

     mR=mR

      R=R :質量は変わらない。 

となる。

 今は運動を地球上で考えているが,地球は回転している。つまり,運動の基準は地球である。地球の

外(絶対空間,慣性座標)からみたときは地球の自転の効果を加味しなければならない。角速度Ωで回

転している地球上の空気の運動を考えるわけである。角運動量とその保存則は,台風中心付近の強風や

亜熱帯ジェットストリームの理解に役立つ。

2つの事例で角運動量とその保存を考える。

まず,図6.19においてP点で地球に接し,z軸から見た水平面を考える。この水平面はy軸に沿い,紙

面に直角である。紙面から裏へが東,紙面から目に向かう方向が西になる

図6.19 緯度φにおける自転速度

この水平面上の点Pで質量mの物体が半径rの回転運動をしているとする。

    緯度φの地点Pにおける地球自転角速度Ωの鉛直方向の成分は

ΩSinφ

     地球自転による接線速度は

rΩSinφ(速度=半径×角速度)

     角運動量は

r・rΩSinφ=mrΩSinφ

     地点Pの鉛直方向に垂直な面で半径r,速度V(地球上で観測した速度)の円運動の角運動量は

     rV

この2つの角運動量を加えたものを絶対角運動量といい,空気塊に何の力も働かないときには,

空気が移動しても絶対角運動量は一定の値で保存される。絶対空間(慣性系)において,

    絶対角運動量=mrΩSinφ+mrV=一定

単位質量(m=1)の空気塊については

絶対角運動量=rΩSinφ+rV=一定    (6.11)

という保存則が成り立つ。

[問題]熱帯低気圧の風

熱帯低気圧が北緯10度にある。Ω=7.3×10−5S−1 ,

Sin10°=0.174とする。絶対角運動量の保存則から

@     中心から400kmのところで接線速度2m/sで回転していた空気塊が,中心から40kmのところ

  にきた時の接線速度を求めなさい。

A熱帯低気圧が赤道上にあるときはどうなるか。@と同様に接線速度を求めなさい。

    答 @70.3m/s  A20m/s

         [400kmの(6.11)式]=[40kmの(6.11)式]

 *     単位を入れて計算せよ。

図6.20 帯状流と自転軸中心の角運動量

次に図6.20のように,地球の緯度線に沿う流れを考える。この流れは風の東西成分uのことで,帯状

風(zonal wind)という。

 今,緯度φで地面に対して東西速度uで動いている単位質量(m=1)の空気塊(図のP)を考える。

     地球の自転方向に合わせて西から東に向かう西風をu>0とする。

     Pは緯度φで地球を横切りした面にあり,その面と地軸の交点を中心とした半径Rの円運動をしてい

る。

     uは地球に対する速度で,その地球は速度V=RΩ=rCosφ・Ωで動いている

     したがって,絶対空間に対する空気塊の速度はその2つを合算したもの(u+rCosφ・Ω)になる。

 絶対空間で空気塊が持つ絶対角運動量は

Cosφ(u+rCosφ・Ω)        (6.12)

になる。

 空気塊に力が働かなければ絶対角運動量は保存される。緯度φで風の東西成分がuのとき,その空

気塊が緯度φに移動して風の東西成分がuになったときは,

 rCosφ(u+rCosφ・Ω)=rCosφ(u+rCosφ・Ω)

(6.13)

が成り立つ

[問題]地球の半径r=6.37×10m,地球自転角速度Ω=7.29×10−5−1

Cos30°=0.866として次のものを求めなさい。

  @赤道における地球の自転による速度。

  A赤道上で風の東西成分u=0の空気塊が北緯30°に北上した時の風速

   答 @  464m/s :rCosφΩで,Cosφ=Cos0°=1.0

     A 134.2m/s :(6.13) 式で左辺に赤道の値,右辺に30°Nの値を入れ,uを求める。